Wydanie niniejszej książki związane jest z przyznaniem panu profesorowi A.P. Wojdzie w 2017 roku Nagrody im. A. Hoborskiego, matematyka, pierwszego rektora Akademii Górniczej. Publikacja może służyć jako podręcznik dla studentów roku drugiego i następnych kierunku matematyka, gdyż jej autor od wielu lat wykłada algebrę abstrakcyjną na Wydziale Matematyki Stosowanej AGH. W swojej monografii zgromadził materiał realizowany w ramach przedmiotów "algebra" oraz "algebra 2".
- Spis treści
-
Wstęp 11
1. Arytmetyka liczb całkowitych 13
1.1. Liczby pierwsze 13
1.2. Algorytm Euklidesa 18
1.3. Zadania 21
2. Grupy 23
2.1. Funkcja φ Eulera 27
2.2. Podgrupy 31
2.3. Homomorfizmy grup, grupy izomorficzne 32
2.4. Grupy cykliczne 34
2.5. Twierdzenie Cayleya 38
2.6. Twierdzenie Lagrange’a 39
2.7. Wnioski z twierdzenia Lagrange’a 41
2.8. Grupa dihedralna 43
2.9. Podgrupy normalne 44
2.10. Podstawowe twierdzenie o izomorfizmie grup 47
2.11. Grupy alternujące 49
2.12. Zadania 50
3. Arytmetyka modularna 53
3.1. Twierdzenie Eulera i małe twierdzenie Fermata 53
3.2. Chińskie twierdzenie o resztach 54
3.3. Residua kwadratowe 56
3.4. Zasady kryptografii z kluczem publicznym 58
3.4.1. Metoda Rabina 60
3.4.2. Metoda RSA 61
3.5. Zadania 63
4. Działanie grupy na zbiorze 65
4.1. Lemat Burnside’a 69
4.2. Grupa obrotów sześcianu 73
4.3. Grupy i kolorowania – metoda Pólyi 74
4.4. Indeksy cyklowe i twierdzenia Pólyi 77
4.5. Obliczania liczby grafów 83
4.6. Zadania 86
5. Pierścienie 89
5.1. Przykłady pierścieni 90
5.2. Podpierścienie 91
5.3. Ideały i pierścienie ilorazowe 91
5.4. Ideały i pierścienie główne 93
5.5. Homomorfizmy pierścieni 94
5.6. Podzielność w pierścieniach 96
5.7. Charakterystyka pierścienia 99
5.8. Zadania 100
6. Pierścienie Gaussa 103
6.1. Pierścienie wielomianów 105
6.2. Pierścienie główne 108
6.3. Pierścienie euklidesowe 110
6.4. Algorytm Euklidesa w pierścieniu euklidesowym 112
6.5. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki 112
6.6. Ciało ułamków pierścienia całkowitego 114
6.7. Wielomiany nad pierścieniami Gaussa 116
6.8. Twierdzenie Gaussa 119
6.9. Wielomiany nierozkładalne 120
6.10. Zadania 122
7. Wielomiany wielu zmiennych 123
7.1. Wielomiany symetryczne 123
7.2. Twierdzenie Wilsona 125
7.3. Podstawowe twierdzenie o wielomianach symetrycznych 126
7.4. Zadania 130
8. Rozszerzenia ciał 131
8.1. Ciało rozkładu wielomianu 134
8.2. Zasadnicze twierdzenie algebry 136
8.3. Rozszerzenia o skończoną liczbę elementów 139
8.4. Rozszerzenia skończone i algebraiczne 140
8.5. Rozszerzenia przestępne 147
8.6. Rozszerzenia izomorfizmów pierścieni i ciał 150
8.7. Rząd ciała skończonego 154
8.8. Pochodne wielomianów i krotności pierwiastków 155
8.9. Ciało Galois rzędu pn 156
8.10. Liczby konstruowalne 160
8.11. Zadania 165
9. Skończone grupy abelowe 169
9.1. Twierdzenie Cauchy’ego dla skończonych grup abelowych 171
9.2. Twierdzenie o skończonych grupach abelowych 171
9.3. Zadania 178
10. Twierdzenia Sylowa 181
10.1. Pierwsze twierdzenie Sylowa 181
10.2. Wnioski z pierwszego twierdzenia Sylowa 183
10.3. Sprzężenie podgrupy 185
10.4. Twierdzenie o rozkładzie na orbity 188
10.5. Drugie twierdzenie Sylowa 191
10.6. Wnioski z drugiego twierdzenia Sylowa 192
10.7. Trzecie twierdzenie Sylowa 192
10.8. Wnioski z trzeciego twierdzenia Sylowa 193
10.9. Zadania 194
11. Grupy rozwiązalne 199
11.1. Komutatory i komutanty 201
11.2. Twierdzenia o izomorfizmie grup 204
11.3. Warunek konieczny i wystarczający rozwiązalności grupy 206
11.4. Zadania 209
12.1. Grupa Galois rozszerzenia ciała 209
12.2. Wielomiany i ciała rozdzielcze 217
12.3. Twierdzenie o elemencie prymitywnym 222
12.4. Twierdzenie Dedekinda–Artina 224
12.5. Rozszerzenia Galois 230
12.5.1. Wnioski z twierdzenia 12.25 233
12.5.2. Zasadnicze twierdzenie teorii Galois 236
12.6. Rozwiązalność równań algebraicznych 241
12.7. Zadania 249
13. ́Evariste Galois 251
14. Wskazówki do wybranych zadań 261
14.1. Rozdział 4 261
14.2. Rozdział 5 261
14.3. Rozdział 8 262
14.4. Rozdział 9 262
14.5. Rozdział 10 264
14.6. Rozdział 11 265
14.7. Rozdział 12 266
15. Oznaczenia 269
Bibliografia 271
Skorowidz 273