Studenci rozpoczynający studia na kierunku Informatyka i Ekonometria mają zróżnicowane przygotowanie z matematyki wyniesione ze szkoły średniej. Liczba godzin audytoryjnych z tego przedmiotu na WZ AGH jest niewielka, szczególnie na studiach zaocznych. Dlatego pracownicy AGH, którzy prowadzą lub prowadzili zajęcia z tego przedmiotu, przygotowali niniejszy podręcznik Elementy algebry z przykładami zastosowań ekonomicznych.
(fragment "Wstępu" prof. Henryka Gurgula)
- Contents
-
Wstęp 7
1. Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości 9
1.1. Zdania logiczne i podstawowe prawa logiki 9
1.2. Formy zdaniowe i kwantyfikatory 12
1.3. Zbiory i działania na zbiorach 13
1.4. Iloczyn kartezjański i relacje 162. Struktury algebraiczne 19
2.1. Działania wewnętrzne i ich własności 19
2.2. Element neutralny i element symetryczny 23
2.3. Działanie zewnętrzne i struktura algebraiczna 26
2.4. Grupy, pierścienie i ciała 27
2.4.1. Grupa, półgrupa, monoid 27
2.4.2. Pierścień 29
2.4.3. Ciało 32
2.5. Ćwiczenia z rozwiązaniami 34
2.6. Zadania i odpowiedzi 383. Liczby zespolone 43
3.1. Ciało liczb zespolonych i jego własności 43
3.2. Postać algebraiczna liczby zespolonej 45
3.3. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej 47
3.4. Postać trygonometryczna liczby zespolonej 52
3.5. Pierwiastkowanie liczb zespolonych 56
3.6. Postać wykładnicza liczby zespolonej 60
3.7. Ćwiczenia z rozwiązaniami 62
3.8. Zadania i odpowiedzi 654. Wielomiany 72
4.1. Wielomian rzeczywisty i zespolony, pierścień wielomianów 72
4.2. Pierwiastki wielomianu 76
4.3. Podstawowe twierdzenie algebry 81
4.4. Ćwiczenia z rozwiązaniami 85
4.5. Zadania i odpowiedzi 915. Macierze 94
5.1. Podstawowe pojęcia dotyczące macierzy 94
5.2. Działania na macierzach 98
5.3. Wyznacznik macierzy kwadratowej 109
5.3.1. Indukcyjna definicja wyznacznika 109
5.3.2. Wyznaczniki wyższych stopni 113
5.3.3. Własności wyznacznika 116
5.4. Macierz odwrotna 126
5.4.1. Odwracanie macierzy przy użyciu operacji elementarnych 131
5.4.2. Rozwiązywanie równań macierzowych z wykorzystaniem pojęcia macierzy odwrotnej 134
5.5. Rząd macierzy 137
5.6. Ćwiczenia z rozwiązaniami 143
5.7. Zadania i odpowiedzi 1526. Układy równań liniowych 158
6.1. Podstawowe definicje dotyczące układów równań 158
6.2. Twierdzenie Cramera 160
6.3. Twierdzenie Kroneckera–Capellego 162
6.4. Metoda eliminacji Gaussa 166
6.5. Ćwiczenia z rozwiązaniami 169
6.6. Zadania i odpowiedzi 1727. Przestrzenie liniowe 176
7.1. Przestrzeń i podprzestrzeń liniowa 176
7.2. Liniowa niezależność wektorów 181
7.3. Przestrzeń generowana przez zbiór 188
7.4. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej 191
7.5. Suma i unia podprzestrzeni. Przestrzeń uzupełniająca 195
7.6. Odwzorowania liniowe 198
7.6.1. Jądro i obraz odwzorowania liniowego 202
7.6.2. Rodzaje odwzorowań liniowych 206
7.6.3. Postać macierzowa odwzorowania liniowego 211
7.6.4. Macierz odwzorowania identycznościowego 215
7.6.5. Macierz przejścia 217
7.7. Ćwiczenia z rozwiązaniami 222
7.8. Zadania i odpowiedzi 2288. Elementy teorii Jordana 234
8.1. Problem własny: wartości i wektory własne 234
8.2. Twierdzenie Cayleya–Hamiltona 237
8.3. Macierz Jordana 238
8.4. Wektory główne 242
8.5. Ćwiczenia z rozwiązaniami 244
8.6. Zadania i odpowiedzi 2519. Formy kwadratowe 255
9.1. Definicja formy kwadratowej i jej określoność 255
9.2. Kryterium Sylvestera 257
9.3. Kryterium wartości własnych 261
9.4. Postać kanoniczna formy kwadratowej 262
9.4.1. Metoda Lagrange’a 263
9.5. Ćwiczenia z rozwiązaniami 266
9.6. Zadania i odpowiedzi 26810. Przestrzenie unitarne 271
10.1. Iloczyn skalarny 271
10.2. Norma, nierówność Schwarza 272
10.3. Ortogonalność i ortonormalność 274
10.4. Ortogonalizacja Grama–Schmidta 275
10.5. Rzut ortogonalny 277
10.6. Ćwiczenia z rozwiązaniami 279
10.7. Zadania i odpowiedzi 28311. Geometria analityczna 286
11.1. Wektory 286
11.1.1. Podstawowe definicje i działania na wektorach 286
11.1.2. Wektory w przestrzeni 289
11.1.3. Iloczyn skalarny w R3 292
11.1.4. Iloczyn wektorowy w R3 293
11.1.5. Iloczyn mieszany w R3 297
11.2. Proste i płaszczyzny w przestrzeni 298
11.2.1. Równania płaszczyzny w przestrzeni 298
11.2.2. Wzajemne położenie dwóch płaszczyzn 300
11.2.3. Równania prostej w przestrzeni 302
11.2.4. Wzajemne położenie dwóch prostych 305
11.3. Punkt, prosta i płaszczyzna w R3 307
11.4. Ćwiczenia z rozwiązaniami 309
11.5. Zadania i odpowiedzi 31312. Zastosowania ekonomiczne macierzy i układów równań 320
12.1. Model Leontiefa 320
12.2. Teoria kosztów komparatywnych 322
12.3. Modele Piero Sraffy 324
12.3.1. Wprowadzenie do modeli Sraffy 324
12.3.2. Produkcja dla utrzymania egzystencji 325
12.3.3. Produkcja z nadwyżką 326
12.4. Model wzrostu von Neumanna 330
12.5. Renty gruntowe 334
12.5.1. Renty ekstensywne 334
12.5.2. Renty intensywne 338
12.6. Zadania i odpowiedzi 340Bibliografia 344
O autorach 345
