Niniejszy skrypt powstał na podstawie notatek do wykładów i ćwiczeń audytoryjnych z teorii sterowania, teorii optymalizacji i wprowadzenia do sterowania układami o parametrach rozłożonych (podstaw sterowania w przestrzeniach Hilberta), które autor prowadził na różnych kierunkach kształcenia studiów podstawowych i doktoranckich. Notatki te były rozwijane i publikowane w latach 2005–2020 na stronie internetowej autora w eksperymentalnej technologii XML/MathML. Nacisk położony jest na ścisłość prezentacji tematyki. Pomimo to zakres materiału jest porównywalny ze zbiorami zadań i problemów znanych z podobnych publikacji zagranicznych. Monografia stanowi istotny wkład do metodologii rozwiązywania problemów i zadań z zakresu teorii sterownia i optymalizacji. Autor konsekwentnie stosuje zaawansowany aparat algebry liniowej i analizy funkcjonalnej oraz dba o ścisłość wywodów i różnorodność zagadnień.
- Contents
-
1. Wstęp 1
2. Elementy algebry liniowej 2
2.1. Odwzorowania liniowe i macierze 2
2.2. Zagadnienie własne 4
2.3. Kanoniczna reprezentacja jordanowska 6
2.4. Rzeczywista postać Jordana macierzy rzeczywistej 11
2.5. Rachunek funkcyjny dla macierzy 17
3. Modele obiektów sterowania 22
3.1. Elektryczny filtr RC–RC–RC 22
3.2. Sterowany dwójnik elektryczny RLCGM 23
3.3. Elektryczna linia transmisyjna RLCG 26
3.3.1. Równania elektrycznej linii transmisyjnej RLCG 26
3.3.2. Linia transmisyjna RLCG bez zniekształceń jako obiekt sterowania 27
3.3.3. Linia transmisyjna RC jako obiekt sterowania 29
3.4. Zbiornik o przepływie ciągłym 30
3.5. Wahadło odwrócone 32
4. Rozwiązania liniowych równań stanu 35
4.1. Analiza układu jednorodnego 35
4.2. Wyznaczanie macierzy fundamentalnej 36
4.2.1. Metoda reprezentacji jordanowskiej 36
4.2.2. Metoda reprezentacji spektralnej 37
4.2.3. Przypadek rzeczywistej postaci jordanowskiej 37
4.2.4. Metoda baz Riesza 40
4.3. Analiza układu niejednorodnego 41
4.3.1. Formuła wariacji stałych dla układu niejednorodnego 41
4.3.2. Sterowalność i gramian sterowalności 43
4.3.3. Wyznaczenie wyjścia 48
4.3.4. Obserwowalność i gramian obserwowalności 50
5. Transmitancja liniowego układu sterowania 53
5.1. Opis układu sterowania w dziedzinie częstotliwości 53
5.2. Wyznaczanie rezolwenty i transmitancji 54
5.3. Przykłady transmitancji układów o parametrach rozłożonych 66
5.4. Zagadnienie realizacji transmitancji 66
5.4.1. Realizacja transmitancji skalarnej 67
5.4.2. Realizacja transmitancji macierzowej 73
5.4.3. Bezpośrednie wyznaczenie minimalnej realizacji transmitancji macierzowej 75
6. Postać kanoniczna Kalmana 82
7. Zamknięte układy sterowania 92
7.1. Równania stanu układów zamkniętych z regulatorami konwencjonalnymi 92
7.1.1. Przypadek regulatora PD 92
7.1.2. Przypadek regulatora PID 94
7.2. Twierdzenie o rozmieszczeniu widma 95
8. Stabilność układów liniowych 101
8.1. Własności asymptotyczne rozwiązań 101
8.2. Algebraiczne kryteria stabilności 104
8.2.1. Kryterium Hurwitza 105
8.2.2. Kryterium Routha 105
8.3. Obszar stabilności w przestrzeni parametrów 109
8.3.1. Ciągła zależność zer wielomianów od jego współczynników 109
8.3.2. Wyznaczanie obszarów stabilności w przestrzeni parametrów 114
8.4. Częstotliwościowe kryteria stabilności układów liniowych 115
8.4.1. Kryterium Michajłowa 115
8.4.2. Kryterium Nyquista 119
8.4.3. Kryterium Nyquista w przypadku pary sprzężonej biegunów na osi urojonej 124
8.4.4. Modyfikacja kryterium Nyquista dla układu SISO z regulatorem P 127
8.4.5. Kryterium Nyquista dla układu SISO z opóźnieniem 129
8.5. Kryterium stabilności oparte na macierzowym równaniu Lapunowa 135
8.6. Stabilność, a sprowadzalność do zera za pomocą sterowań ograniczonych 146
8.7. Stabilizowalność i wykrywalność 147
9. Wprowadzenie do teorii układów dyskretnych 148
9.1. Rozwiązywanie liniowych dyskretnych równań stanu 148
9.2. Transformacja Z 149
9.3. Odwrotna transformacja Z 152
9.4. Analiza częstotliwościowa 152
9.5. Potęgowa stabilność 153
9.5.1. Kryterium algebraiczne potęgowej stabilności 154
9.5.2. Kryterium wykorzystujące dyskretne macierzowe równaniu Lapunowa 155
9.6. Zastosowanie do badania schematów różnicowych 156
9.7. Dyskretne układy sterowania 160
9.7.1. Układ otwarty z impulsatorem idealnym 160
9.7.2. Układ otwarty z modulatorem amplitudy 162
9.7.3. Przykład analizy układu zamkniętego 165
9.7.4. Układ z modulatorem szerokości impulsu 168
10. Podstawy teorii optymalizacji 171
10.1. Problem minimalizacji funkcjonału 171
10.2. Warunki wystarczające: twierdzenie Weierstrassa 171
10.3. Minimalizacja funkcjonałów w przestrzeniach Hilberta i Banacha 172
10.3.1. Przypadek przestrzeni Hilberta 172
10.3.2. Przypadek przestrzeni Banacha 174
11. Przestrzenie i operatory ograniczone 175
11.1. Typowe przestrzenie stanu 175
11.2. Typowe operatory 179
12. Minimalizacja funkcjonałów kwadratowych 184
12.1. Zadanie bez ograniczeń 184
12.1.1. Dyskusja warunków optymalności 184
12.2. Uwagi o zadaniach z ograniczeniami 185
12.3. Przykład: problem lq 187
13. Warunki konieczne: twierdzenie Fermata 189
14. Optymalizacja parametryczna 197
14.1. Wyznaczanie L2 (0,∞;R m) - normy wyjścia 197
14.2. Przykłady optymalizacji parametrycznej normy energetycznej 197
14.2.1. Optymalizacja parametryczna układu z konwencjonalnym regulatorem P 197
14.2.2. Optymalizacja parametryczna układu regulacji z regulatorem PI 201
15. Aproksymacja odpowiedzi impulsowej 207
15.1. Sformułowanie problemu 207
15.2. Warunki wystarczające optymalności 207
15.3. Warunki konieczne optymalności 209
16. Stabilność nieliniowych układów sterowania 213
17. Analiza absolutnej stabilności metodą Lapunowa 217
17.1. Definicja i konstrukcja funkcjonału Lapunowa 217
17.2. Funkcje dodatnio rzeczywiste 220
17.3. Dyskusja rozwiązalności układu (17.6) 221
17.3.1. Przypadek układu kanonicznego 221
17.3.2. Przypadek oryginalnego układu rozwiązujących równań Lurie 224
18. Optymalna estymata obszaru atrakcji zerowego punktu równowagi 234
18.1. Przykład konstrukcji kwadratowego funkcjonału Lapunowa 235
18.2. Uogólnienia 241
19. Stabilność nieliniowych dyskretnych układów sterowania 244
19.1. Stabilność – fakty ogólne 244
19.2. Forma kwadratowa jako funkcjonał Lapunowa dla dyskretnego układu Lurie 245
20. Warunki konieczne Karusha–Kuhna–Tuckera 251
20.1. Twierdzenie Karusha–Kuhna–Tuckera 251
20.2. Twierdzenie o punkcie siodłowym funkcjonału Lagrange’a 252
20.3. Zastosowanie warunków KKT w zadaniach minimalizacji 253
20.3.1. Zadanie 1 253
20.3.2. Zadanie 2 255
20.3.3. Podsumowanie 257
20.4. Ćwiczenia 257
21. Elementy analizy wypukłej 263
21.1. Podstawowe pojęcia analizy wypukłej 263
21.2. Relacja między wypukłością a ciągłością 268
21.3. Minimalizacja funkcjonałów wypukłych 268
21.3.1. Subgradient – definicja i interpretacja geometryczna 268
21.3.2. Twierdzenie o minimalizacji funkcjonału wypukłego na zbiorze wypukłym 271
21.3.3. Wypukłe funkcjonały Lapunowa 273
21.3.4. Przykład 273
21.4. Charakteryzacje wypukłosci funkcjonałów różniczkowalnych 275
22. Przykłady minimalizacji funcjonałów na przestrzeniach funkcyjnych 277
22.1. Rozwiązanie alternatywne problemu (15.1) 277
22.2. Problem brachistochrony 278
22.3. Rozwiązanie problemu brachistochrony 279
22.3.1. Konweksyfikacja problemu 279
22.3.2. Przestrzeń stanu i zbiór dopuszczalny 280
22.3.3. Nierówność wariacyjna i równanie Eulera–Lagrange’a 281
22.3.4. Rozwiązywanie równań Eulera–Lagrange’a metodą Beltramiego 282
22.4. Problem minimalnej powierzchni obrotowej 285
22.5. Rozwiązanie problemu minimalnej powierzchni obrotowej 286
22.5.1. Przestrzeń stanu, własności funkcjonału celu i zbioru dopuszczanego 286
22.5.2. Warunki konieczne 288
22.5.3. Alternatywne warunki konieczne 290
22.5.4. Dyskusja równania (22.30) 290
22.5.5. Rozwiązanie Goldschmidta 293
22.5.6. Warunki dostateczne optymalności oparte na twierdzeniu Weierstrassa 295
23. Problem liniowo-kwadratowy 305
23.1. Sformułowanie problemu 305
23.2. Rozwiązanie problemu lq 306
23.3. Systemy stabilizowalne 310
24. Zbiór osiągalności przy ograniczeniach na sterowanie 317
24.1. Zbiór osiągalności i jego własności 317
24.2. Wyznaczanie zbioru osiągalności metodą hiperpłaszczyzn podpierających 318
24.3. Zasada maksimum dla układu liniowego 320
24.4. Przypadek p = ∞ oraz zbiór Ω jest kulą 321
24.4.1. Przypadek sterowania skalarnego 321
24.4.2. Przypadek sterowania wektorowego 322
25. Zasada maksimum 325
25.1. Sterowanie według kryterium minimalnego zużycia paliwa 332
25.2. Sterowanie minimalnoczasowe 334
25.3. Problem lq ze skończonym horyzontem sterowania 336
25.3.1. Warunki dostateczne 336
25.3.2. Warunki konieczne – zastosowanie zasady maksimum 336
25.3.3. Synteza regulatora liniowego 337
25.3.4. Krótka dyskusja 339
25.4. Dwuwymiarowe regulatory czasooptymalne 342
26. Układy o parametrach rozłożonych 350
26.1. Modele dynamiki układów o parametrach rozłożonych – przykłady 350
26.2. Modele dynamiki układów o parametrach rozłożonych – podsumowanie 360
26.3. Półgrupy i operatory stanu 360
26.4. Dopuszczalne operatory obserwacji 364
26.5. Dopuszczalne czynnikowe operatory sterowania 367
26.6. Reprezentacja stanu 367
26.7. Reprezentacja wyjścia 368
26.8. Wykładnicza stabilność przy liniowych sprzężeniach zwrotnych 368
26.8.1. Operatorowy opis układu zamkniętego 369
26.8.2. Abstrakcyjny model różniczkowy 370
26.8.3. Perturbacje generatorów C0-półgrup 370
26.9. Problem lq dla układów o parametrach rozłożonych 370
26.10. Przyrostowe kryterium koła 373
27. Dodatki 394
27.1. Dowód uwagi 11.2 394
27.2. Wyprowadzenie wzoru (15.10) metodą szeregu geometrycznego 394
Bibliografia 397
Indeks 401