In this monograph are presented results of the author’s research on the determination of the Lyapunov functionals for linear systems with time delay and its applications in the parametric optimization problem. The Lyapunov quadratic functionals are used to calculation of a value of a quadratic performance index of quality in the process of parametric optimization for time delay systems. The value of that functional at the initial state of the time delay system is equal to the value of a quadratic performance index of quality. To calculate the value of a performance index of quality one needs the formulas for the Lyapunov functional coefficients. In this monograph the method proposed by Repin [79] is applied to obtain the Lyapunov functionals, with coefficients given by analytical formulas. In Chapter 2. are considered systems with the retarded type time delay. This method is applied to the system with one delay (Chapter 2.2), to the system with two delays (Chapter 2.3), to the retarded type time delay system with both lumped and distributed delay (Chapter 2.4), to the system with a retarded type time-varying delay (Chapter 2.5). In Chapter 3. are considered neutral systems. Repin’s method is applied to the neutral system with lumped delay (Chapter 3.2), to the neutral system with both lumped and distributed delay (Chapter 3.3) and to the neutral system with a time-varying delay (Chapter 3.4). In last years a method of determination of a Lyapunov functional by means of Lyapunov matrices is very popular, see for example [50–66, 72, 73, 76, 81–83]. This method is applied to the parametric optimization problem of retarded type time delay system both with one and two delays (Chapter 4) and to the parametric optimization problem of neutral type time delay system for system with one and two delays (Chapter 5). The examples of using of the Lyapunov functionals to calculation of the performance index value in the parametric optimization problem for linear systems with time delay are given.
W monografii przedstawiono wyniki badan autora nad określeniem funkcjonałów Lapunowa dla liniowych układów z opóźnieniem i ich zastosowaniem w procesie optymalizacji parametrycznej. Kwadratowe funkcjonały Lapunowa są stosowane do wyznaczenia wartości kwadratowego wskaźnika jakości w procesie optymalizacji parametrycznej układów z opóźnieniem. Wartość funkcjonału dla stanu początkowego układu z opóźnieniem jest równa wartości kwadratowego wskaźnika jakości. Do wyznaczenia wartości wskaźnika jakości konieczna jest znajomość wzorów na współczynniki funkcjonału Lapunowa. W monografii została zastosowana metoda, zaproponowana przez Repina [79], wyznaczenia wzorów na współczynniki funkcjonału Lapunowa. W rozdziale 2. dla układu z opóźnieniem. W kolejnych podrozdziałach została zastosowana metoda Repina do wyznaczania współczynników funkcjonału Lapunowa dla układu z jednym opóźnieniem skupionym (rozdział 2.2), dla układu z dwoma skupionymi opóźnieniami (rozdział 2.3), dla układu z opóźnieniem skupionym i rozłożonym ˙ (rozdział 2.4), dla układu z opóźnieniem zmiennym w czasie (rozdział 2.5). W rozdziale 3. zastosowano metodę Repina dla układu neutralnego. Kolejno dla układu neutralnego z opóźnieniem skupionym (rozdział 3.2), dla układu neutralnego z opóźnieniem skupionym i rozłożonym (rozdział 3.3) oraz dla układu neutralnego z opóźnieniem zmiennym w czasie (rozdział 3.4). W ostatnich latach jest bardzo popularna metoda wyznaczania funkcjonału Lapunowa za pomocą macierzy Lapunowa, patrz np. [50–66, 72, 73, 76, 81–83]. Ta metoda została zastosowana w procesie optymalizacji parametrycznej dla układu z jednym i dwoma opóźnieniami (rozdział 4) i w procesie optymalizacji parametrycznej dla układu neutralnego z jednym i z dwoma opóźnieniami (rozdział 5). W monografii zostały również przedstawione przykłady ˙ zastosowania funkcjonałów Lapunowa do obliczania wartości wskaźnika jakości w procesie optymalizacji parametrycznej układów z opóźnieniem.
Wydawnictwa nie prowadzą sprzedaży książek z serii "Rozprawy Monografie". Zainteresowanych prosimy o kontakt z ich autorami.
- Spis treści
-
Summary 9
Streszczenie 10
Acknowledgement 11
Notations and symbols 13
1 Introduction 15
2 A linear retarded type time delay system 18
2.1 Preliminaries 18
2.2 The Lyapunov functional for a linear system with one delay 22
2.2.1 Mathematical model of a linear time delay system with one delay 22
2.2.2 Determination of the Lyapunov functional 24
2.2.3 The examples 28
2.2.3.1 Inertial system with delay and a P controller 28
2.2.3.2 Inertial system with delay and an I controller 32
2.3 The Lyapunov functional for a linear system with two delays 42
2.3.1 Mathematical model of a linear time delay system with two delays 42
2.3.2 Determination of the Lyapunov functional 43
2.3.3 Solution of the set of differential equations (2.170) for commensurate delays 47
2.3.4 The example 50
2.4 A linear system with both lumped and distributed retarded type time delay 52
2.4.1 Mathematical model of a linear system with both lumped and distributed retarded type time delay 52
2.4.2 Determination of the Lyapunov functional 53
2.4.3 The examples 58
2.4.3.1 The example 1 58
2.4.3.2 The example 2 64
2.5 A linear system with a retarded type time-varying delay 71
2.5.1 Mathematical model of a linear system with a retarded type time-varying delay 71
2.5.2 Determination of the Lyapunov functional 72
2.5.3 The examples 76
2.5.3.1 Inertial system with delay and a P controller 76
2.5.3.2 The example. Two dimensional system 81
3 A linear neutral system 90
3.1 Preliminaries 90
3.2 A linear neutral system with lumped delay 93
3.2.1 Mathematical model of a linear neutral system with lumped delay 93
3.2.2 Determination of the Lyapunov functional for a neutral system with one delay 95
3.2.3 The example. Inertial system with delay and a PD controller 98
3.3 The Lyapunov functional for a neutral system with both lumped and distributed time delay 101
3.3.1 Mathematical model of a linear neutral system with both lumped and distributed time delay 101
3.3.2 Determination of the Lyapunov functional coefficients 103
3.3.3 The example 109
3.4 A linear neutral system with a time-varying delay 111
3.4.1 Mathematical model of a linear neutral system with a time-varying delay 111
3.4.2 Determination of the Lyapunov functional 112
3.4.3 The example. Inertial system with delay and a PD controller 118
4 The Lyapunov matrix for a retarded type time delay system 124
4.1 Mathematical model of a retarded type time delay system 124
4.2 The Lyapunov–Krasovskii functional for a retarded type time delay system 125
4.3 The Lyapunov matrix for a system with one delay 127
4.4 Formulation of the parametric optimization problem for a system with one delay 129
4.5 The examples 130
4.5.1 Inertial system with delay and a P-controller 130
4.5.2 Inertial system with delay and a PI-controller 134
4.6 The Lyapunov matrix for a system with two commensurate delays 140
4.7 Formulation of the parametric optimization problem 144
4.8 The example. Parametric optimization problem for a scalar system with two delays 145
5 The Lyapunov matrix for a neutral system 149
5.1 The Lyapunov matrix for a neutral system with one delay 149
5.1.1 Mathematical model of a neutral system with one delay 149
5.1.2 The Lyapunov–Krasovskii functional for a neutral system with one delay 151
5.1.3 The Lyapunov matrix for a neutral system with one delay 153
5.1.4 Formulation of the parametric optimization problem for a neutral system with one delay 155
5.1.5 The examples 156
5.1.5.1 A linear neutral system with a P-controller 156
5.1.5.2 Inertial system with delay and a PD-controller 160
5.2 Neutral system with two delays 165
5.2.1 Mathematical model of neutral system with two delays 165
5.2.2 The Lyapunov–Krasovskii functional for a neutral system with two delays 167
5.2.3 Formulation of the parametric optimization problem for a neutral system with two delays 169
5.2.4 The Lyapunov matrix for a neutral system with two delays 169
5.2.5 The Lyapunov matrix for a neutral system with two commensurate delays 172
5.2.6 The example 176
6 Conclusion 181
Bibliography 184