Przedmowa v
Spis treści 1
Wykaz oznaczeń 9
1. Wstęp 13
1.1. Uwagi dotyczące modeli matematycznych 15
1.2. Klasyfikacja problemów optymalizacji 15
1.3. Klasyfikacja modeli matematycznych 16
Literatura 20
2. Wstępne pojęcia logiki 21
2.1. Pojęcia elementarne 22
2.2. Problemy 24
2.3. Rozwiązania problemów 27
Literatura 38
3. Podstawowe modele matematyczne 39
3.1. Równania różniczkowe zwyczajne 39
3.1.1. Równania nieliniowe 39
3.2. Równania liniowe niestacjonarne 40
3.3. Równania liniowe stacjonarne 43
3.4. Równania liniowe różnicowe 43
3.4.1. Równania liniowe niestacjonarne 43
3.4.2. Równania liniowe stacjonarne 44
3.5. Równania liniowe niestacjonarne różniczkowe z opóźnieniem 44
3.6. Równania całkowe 45
3.6.1. Równanie Voltcrry 45
3.6.2. Równanie Fredholma 46
3.6.3. Transmitancja operatorowa i widmowa 48
3.7. Formalizacja matematyczna procesów fizycznych (przykłady) 49
3.7.1. Elektryczny układ łańcuchowy i linia długa 49
3.7.2. Wielokrotne wahadło odwrócone 52
3.8. Przykłady układów wielowymiarowych 58
3.8.1. System ekonomiczny Kaleckiego 58
3.8.2. Model matematyczny instalacji wyciągowej 60
3.8.3. Układ regulacji grubości blachy walcowanej 63
3.8.4. Wyprawa na Księżyc 64
3.9. Metody rozwiązywania stacjonarnych równań różniczkowych zwyczajnych 71
3.10. Metoda z użyciem przekształcenia Laplace'a 72
3.11. Metoda oparta na twierdzeniach teorii macierzy 75
3.12. Metoda transformacji współrzędnych stanu 83
3.13. Transformacje prowadzące do macierzy przekątniowych 95
3.14. Transformacja do postaci Jordana dla macierzy niepodobnych do diagonalnych 102
Literatura 107
4. Podstawowe ograniczenia w liniowych stacjonarnych systemach dynamicznych 109
4.1. Twierdzenie o stabilności asymptotycznej układu liniowego 112
4.2. Częstotliwościowe kryteria badania stabilności 113
4.3. Kryterium Michajłowa 119
4.4. Kryterium Nyąuista 122
4.5. Analityczne kryteria stabilności 126
4.6. Obliczanie liczby zer wielomianów w dowolnej półpłaszczyźnie zespolonej 130
4.7. Kryterium Routha 133
4.8. Kryterium stabilności Lapunowa 142
4.9. Metoda badania stabilności układów z opóźnieniem 151
4.10. Kryteria stabilności systemów dyskretnych 159
4.11. Kryterium Charitonowa 164
4.11.1. Uwagi ogólne 164
4.11.2. Kryterium stabilności odpornej 164
4.12. Sterowalność i obserwowalność 173
4.12.1. Koncepcja i warunki sterowalności oraz obserwowalności 173
4.13. Obserwowalność liniowych systemów stacjonarnych 178
4.13.1. Niezmienniki struktury systemów wielowymiarowych 188
4.13.2. Struktury kanoniczne systemów dynamicznych 191
4.14. Kryterium realizowalności fizycznej 194
4.15. Kryterium Paleya-Wienera 197
4.16. Kryterium Bodego 198
4.17. Wskaźnik jakości dla systemów dynamicznych liniowych stacjonarnych 203
Literatura. 213
5. Ekstrema funkcji bez ograniczeń 215
5.1. Istnienie punktów ekstremalnych 215
5.2. Ekstrema funkcji bez ograniczeń jednej zmiennej 218
5.3. Ekstrema funkcji wielu zmiennych 224
5.4. Formy kwadratowe określone, półokreślone i nieokreślone 228
5.5. Przykłady zastosowań optymalizacji do zagadnień aproksymacji 232 
5.5.1. Problemy aproksymacji w przestrzeni L1 232
5.5.2. Aproksymacja w przestrzeni L2 242
5.5.3. Znajdowanie minimum pola elipsy przechodzącej przez trzy punkty 248
5.5.4. Przybliżona trysekcja kąta 252
Literatura 256
6. Ekstrema warunkowe z ograniczeniami równościowymi 257
6.1. Metoda eliminacji 257
6.2. Metoda ograniczonych wariacji 262
6.3. Metoda mnożników Lagrange'a 264
6.4. Przykłady 271
6.4.1. Dobór współczynnika dla kompensatora 271
6.4.2. Maksimum wartości bezwględnej wyznacznika 274
6.4.3. Droga o najkrótszym czasie przebycia 276
6.4.4. Amortyzator 277
6.4.5. Statyczne systemy hierarchiczne 282
6.4.6. Problem syntezy optymalnych systemów hierarchicznych statycznych 285
6.4.7. Rozwiązanie problemu optymalnego podziału zasobów Y między n elementów tego samego typu 287
6.4.8. Optymalizacja struktur o identycznych elementach ze stałą liczbą elementów podporządkowanych 295
6.4.9. Przykład transportowy 302
Literatura 305
7. Ekstrema warunkowe z ograniczeniami równościowymi i nierównościowymi 307
7.1. Sformułowanie problemu 307
7.2. Podstawowe pojęcia mnogościowe 307
7.3. Warunki istnienia rozwiązań optymalnych dla problemów liniowych 310
7.3.1. Twierdzenie o rozdzielaniu zbioru wypukłego i punktu 310
7.3.2. Twierdzenie Farkasa o alternatywie 311
7.3.3. Zastosowanie twierdzenia Farkasa do problemu programowania liniowego 313
7.4. Warunki istnienia rozwiązań optymalnych dla problemów nieliniowych 315
7.4.1. Płaszczyzna podpierająca 315
7.4.2. Twierdzenie o płaszczyźnie podpierającej 316
7.4.3. Twierdzenie o rozdzielaniu zbiorów 316
7.4.4. Twierdzenie Jordana 317
7.5. Ekstrema warunkowe z ograniczeniami nierównościowymi 318
7.6. Warunki konieczne i dostateczne dla ekstremów warunkowych 325
Literatura 329
8. Optymalizacja parametryczna ciągłych liniowych systemów dynamicznych 331
8.1. Systemy jednowymiarowe SISO 331
8.1.1. Kryteria całkowe z uchybu dynamicznego i ich obliczanie 331
8.1.2. Obliczanie całki J2 dla układów dyskretnych 352
8.2. Optymalizacja systemów wielowymiarowych MIMO-systems 356
8.3. Obliczanie całki J2 dla układów nieskończenie wymiarowych 363
8.3.1. Równania różniczkowe z odchylonym argumentem w dziedzinie czasu t 363
8.3.2. Równania różniczkowe cząstkowe 364
8.3.3. Metoda w dziedzinie czasu 364
8.3.4. Obliczanie całki z kwadratu błędu dynamicznego 366
8.3.5. Metoda w dziedzinie operatora s 371
8.3.6. Obliczanie całki z kwadratu błędu 372
8.3.7. Uogólnienie metody na przypadek wielu różnych funkcji nieparzystych qi(s) 377
8.4. Znajdowanie ekstremum czasu odpowiadającego ekstremum błędu przejściowego 378
8.5. Przykład. Najkrótszy czas narastania przebiegu przejściowego 382
8.6. Kryterium mink maxt xe(t) jako problem optymalizacji parametrycznej maksymalnego błędu dynamicznego 385
8.6.1. Rozwiązanie równania 3. rzędu 390
8.6.2. Ograniczenia metody i możliwości ich przezwyciężenia 392
8.6.3. Przykład. Problem syntezy parametrycznej regulatora proporcjonalnego 394
8.6.4. Rozwiązanie równania n-tego rzędu 397
8.6.4.1. Przykład. Równanie n-tego rzędu 400
8.7. Przykład. Utrzymanie przez człowieka patyka w równowadze na palcu 402
Literatura 410
9. Elementy rachunku wariacyjnego 412
9.1. Wstęp 412
9.2. Zagadnienie brachistochrony 413
9.3. Elementarna metoda wieloboków Eulera - warunki konieczne 415
9.4. Metoda Lagrange'a - warunki konieczne 416
9.4.1. Podstawowe definicje, lematy i twierdzenia 416
9.4.2. Problem Lagrange'a 420
9.4.3. Wariacja funkcji 424
9.4.4. Warunek konieczny ekstremum 424
9.4.5. Wyprowadzenie równania Eulera-Lagrange'a 425
9.4.6. Warunek konieczny Legendre'a 427
9.5. Elementarne wyprowadzenie warunków Jacobiego 430
9.6. Uogólnienia 433
9.6.1. Funkcjonał zależny od funkcji wektorowej 433
9.6.2. Funkcjonał zależny od pochodnych wyższych rzędów 433
9.6.3. Funkcjonał zależny od funkcji wielu zmiennych równania Eulera-Ostrogradzkiego 433
9.6.4. Problemy wariacyjne z ruchomymi końcami 441
9.6.5. Funkcjonały niestandardowe 444
9.6.6. Przekształcenia Legendre'a 446
9.7. Równania Hamiltona 448
9.7.1. Równoważność równań Eulera-Lagrange'a i Hamiltona 448
9.8. Przejście od klasycznego rachunku wariacyjnego do sterowania optymalnego 450
9.8.1. Zasada Hamiltona najmniejszego działania 450
9.8.2. Zmiana notacji 451
9.9. Podsumowanie 452
9.10. Przykład zastosowania rachunku wariacyjnego 455
9.10.1. Kompensacja zjawiska załamania światła w oku ryby 455
9.10.2. Budowa oka 458
9.10.3. Zasada Fermata w oparciu o rachunek wariacyjny 459
9.10.4. Wyznaczanie trajektorii światła w ośrodkach jednorodnych 460
9.10.5. Wyznaczanie trajektorii przelotu promienia świetlnego przez ośrodek niejednorodny optycznie 463
9.10.6. Budowa oka ryby kompensującego zjawisko załamania światła 471
Literatura 473
10. Optymalizacja dynamiczna systemów 474
10.1. Zagadnienia sterowania optymalnego 475
10.2. Przykłady 476
10.2.1. Przeprowadzenie obiektu z jednego stanu w drugi w najkrótszym czasie 476
10.2.2. Ekonomiczne zużycie paliwa 476
10.2.3. Optymalne tłumienie w układach pomiarowych 477
10.2.4. Sterowanie optymalne w ekonomii 477
10.3. Postawienie problemu i podstawowe pojęcia 478
10.3.1. Formalizacja problemu dla systemów opisywanych równaniami różniczkowymi zwyczajnymi 479
10.3.2. Równanie różnicowe 481
10.3.3. Równanie różniczkowo-różnicowe 481
10.3.4. Równanie różniczkowo-całkowe 482
10.3.5. Równanie różniczkowe cząstkowe 482
10.3.6. Modele procesów stochastycznych i adaptacyjnych 482
10.3.7. Ograniczenia wektora sterującego 483
10.3.8. Ograniczenia wektora stanu 484
10.3.9. Kryteria optymalności sterowania 484
10.3.10. Kryteria optymalności dla modeli procesów dyskretnych 485
10.3.11. Metody teorii sterowania optymalnego. Metody procesów deterministycznych 486
10.3.12. Zmiana kryteriów optymalności 486
10.3.13. Redukcja problemu sterowania optymalnego do sterowania czasooptymalnego. 487
10.4. Metoda pola orientorowego 488
10.4.1. Ogólne zasady metody 488
10.4.2. Przykład równania nieautonomicznego 491
10.4.3. Przykład równania autonomicznego 492
10.4.4. Przykład równania z prawą stroną w postaci graficznej 493
10.5. Metoda obszaru osiągalnego 494
10.5.1. Kryterium sterowania z minimalną amplitudą 499
10.5.2. Kryterium sterowania z minimalną energią 503
10.5.3. Kryterium minimalnego wydatku 505
10.5.4. Uogólnienia 507
Literatura 512
11. Zasada maksimum 514
11.1. Wariant podstawowy zasady maksimum 514
11.2. Zakres zastosowań zasady maksimum 519
11.3. Problem istnienia rozwiązania 522
11.3.1. Osobliwe sterowanie optymalne 524
11.3.2. Sterowanie osobliwe dla problemów czasooptymalnych 526
11.3.3. Problem sterowania czasooptymalnego dotarcia do zadanego stanu końcowego w minimalnym czasie 527
11.3.4. Sterowalność układów osobliwych 531
11.4. Wariant I zasady maksimum - swobodne: stan i czas końcowy 532
11.5. Wariant II zasady maksimum - zadane: czas końcowy i warunki brzegowe 536
11.6. Wariant III zasady maksimum - ustalone: warunki początkowe i końcowe przy całkowym funkcjonale jakości 542
11.7. Problem sterowania minimalno-czasowego 543
11.8. Zależność hamiltonianu od sterowania ekstremalnego. 544
11.9. Sterowanie minimalno-czasowe systemów liniowych stacjonarnych 546
11.10. Momenty przełączania sterowania minimalno-czasowego w systemach liniowych stacjonarnych 550
11.10.1. Systemy z macierzą stanu A o rzeczywistych wartościach własnych 550
11.10.2. Systemy z macierzą stanu A z jedną n-krotną rzeczywistą wartością własną s ≠ 0 i z sterowaniem skalarnym 552
11.10.3. Systemy z wielokrotną wartością własną s = 0 i sterowanie skalarne 555
11.10.4. Systemy z macierzą stanu A o jednej wartości własnej s ≠ 0 i sterowaniu wektorowym 559
11.10.5. Systemy z si = s2 = … = sn = 0 i sterowaniu wektorowym 562
11.10.6. Dodatek: uogólnienie reguły mnożników Lagrange'a 564
11.11. Synteza regulatora minimalno-czasowego 566
11.11.1. Konstrukcja krzywej przełączania 569
11.11.2. Regulator minimalno-czasowy dla systemu całkującego 2. rzędu 570
11.11.3. Synteza regulatora minimalno-czasowego w systemach liniowych 2. rzędu 576
11.11.4. Przykład: system minimalno-czasowy nieliniowy 576
11.12. Zasada maksimum z ograniczeniami na stan 580
11.12.1. Założenia zasady maksimum 580
11.12.2. Rezultat klasyczny 582
11.12.3. Uwagi o syntezie regulatora optymalnego 585
11.13. Zasada maksimum dla systemu dyskretnego 589
11.13.1. Systemy liniowe dyskretne 589
11.13.2. Założenia zasadnicze 590
11.13.3. Zasada toru optymalnego 590
11.13.4. Zasada maksimum dla systemów liniowych dyskretnych 590
11.13.5. Problem sterowania optymalnego dla systemów dyskretnych 591
11.13.6. Warunki konieczne zasady maksimum w problemie Mayera 592
11.13.7. Przypadek dziedziny sterowania zmiennej z czasem 595
Literatura 596
12. Programowanie dynamiczne 598
12.1. Zasada optymalności 598
12.1.1. Przykład zasady optymalności programowania dynamicznego 599
12.1.2. Programowanie dynamiczne realizowane na komputerze 600
12.2. Własności charakterystyczne metody Bellmana 602
12.3. Zastosowanie metody Bellmana do procesów ciągłych 602
12.4. Metoda Bellmana a istnienie pochodnych cząstkowych 604
12.5. Przykłady 604
12.5.1. Formalizm Kalmana 610
12.5.2. Zastosowanie programowania dynamicznego do rozwiązywania zadań z kombinatoryki 612
12.5.3. Określenie minimalnej liczby ważeń w celu znalezienia fałszywej monety 614
12.5.4. Metoda konkurencyjna do programowania dynamicznego 616
12.6. Związek zasady maksimum z programowaniem dynamicznym 618
12.6.1. Wyprowadzenie równań sprzężonych 619
12.7. Uzasadnienie programowania dynamicznego 620
12.7.1. Warunki konieczne optymalności 620
12.7.2. Warunki dostateczne optymalności, uzasadnienie programowania dynamicznego 624
12.7.3. Związek programowania dynamicznego z zasadą maksimum 628 
Literatura 628
13. Optymalizacja systemów liniowych niestacjonarnych 629
13.1. Sformułowanie problemu 629
13.2. Równanie Bellmana dla problemu liniowo-kwadratowego 630
13.3. Wyznaczenie macierzy M(t0), K(t0) i L(t0) 632
13.4. Sprowadzenie problemu liniowo-kwadratowego do postaci kanonicznej 635
13.5. Wyznaczanie sterowania optymalnego w układzie otwartym 636
13.6. Wyznaczanie sterowania optymalnego w układzie zamkniętym 638
13.7. Wyznaczanie sterowania optymalnego dla liniowych systemów stacjonarnych przy nieskończonym horyzoncie sterowania 640
13.8. Równanie Kalmana 642
Literatura 647
14. Optymalizacja systemów hybrydowych dyskretno-ciągłych 648
14.1. Optymalizacja parametryczna 648
14.2. Sterowanie optymalne 659
14.3. Sieć nieobciążona otwarta 661
14.4. Sieć zamknięta 662
14.5. Wyznaczenie regulatora optymalnego. 663
14.6. Równanie Kalmana dla regulatora optymalnego 667
14.7. Sterowanie optymalne systemów liniowych z opóźnieniem przy kwadratowym funkcjonale jakości i nieskończonym horyzoncie optymalizacji 671 
14.7.1. Równanie Kalmana 672
Literatura 685
15. Ekstrema funkcji wektorowych 687
15.1. Wprowadzenie 687
15.2. Sformułowanie problemu polioptymalizacji 688
15.3. Porządek częściowy 690
15.4. Punkty Pareto-minimalne 691
15.5. Minima lokalne wektora 692
15.6. Rozwiązania kompromisowe 700
15.7. Globalne minima wektorowe 701
15.8. Skalaryzacja 702
15.9. Metoda szkieletu 709
15.9.1. Konstrukcja szkieletu 710
15.9.2. Obliczanie najlepszego rozwiązania kompromisowego
w przestrzeni kryteriów 713
Literatura 714
16. Model matematyczny roweru i analiza jego stabilności 716
Literatura 736
17. Dodatek 737
Skorowidz 761