Monografia prezentuje wybrane metody numeryczne. W odróżnieniu od innych publikacji o podobnej tematyce analizuje błędy generowane przez poszczególne algorytmy oraz zawiera wskazówki dotyczące właściwego doboru algorytmu do konkretnego zadania i jego parametru do uzyskania możliwie najwyższej dokładności wyniku obliczeń przy możliwie najkrótszym czasie.
W poszczególnych rozdziałach omówione zostały: technika wyznaczania numerycznego wartości ilorazów różnicowych wraz z porównaniem jej z techniką różniczkowania automatycznego, zagadnienie całkowania numerycznego (z prezentacją różnych wariantów kwadratur), metoda funkcji modulującej, numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych (ze wskazaniem zadań, w których znajdują zastosowanie, i spodziewanej dokładności rozwiązań) oraz algorytm QR obliczania wartości własnych macierzy.
Monografia przeznaczona jest dla wszystkich zainteresowanych współczesnymi metodami obliczeniowymi. Szczególnie pomocna może być dla studentów kierunków: automatyka i robotyka, informatyka, elektrotechnika i komunikacja, a także dla pracowników naukowych i programistów stosujących praktycznie omawiane metody w opracowywanych aplikacjach.
- Spis treści
-
1. Ilorazy różnicowe 7
Janusz Miller
1.1. Błędy numeryczne 7
1.2. Ilorazy różnicowe z krokiem rzeczywistym 9
1.3. Ilorazy różnicowe z krokiem zespolonym 14
1.4. Ekstrapolacja Richardsona 17
1.5. Podsumowanie 202. Różniczkowanie automatyczne 22
Filip Kamiński
2.1. Wprowadzenie 22
2.2. Różniczkowanie metodą „w przód” 25
2.3. Różniczkowanie metodą „wstecz” 26
2.4. Przypadek Rm → Rn 28
2.5. Implementacja z użyciem liczb dualnych 30
2.6. Metody implementacji 33
2.7. Porównanie wydajności i dokładności 34
2.8. Podsumowanie 393. Kwadratury 41
Janusz Miller, Jarosław Wąs
3.1. Wprowadzenie 41
3.2. Kwadratury z węzłami równoodległymi 42
3.3. Kwadratury z węzłami nierównoodległymi 55
3.4. Podsumowanie 624. Identyfikacja współczynników liniowego równania różniczkowego 64
Jędrzej Byrski
4.1. Wprowadzenie 64
4.2. Metoda identyfikacji OEM 69
4.3. Przykład analityczny 76
4.4. Przykład numeryczny 81
4.5. Podsumowanie 895. Równania różniczkowe zwyczajne: zagadnienie początkowe 92
Janusz Miller
5.1. Wprowadzenie 92
5.2. Liniowe metody wielokrokowe (LMWK) 94
5.3. Metody Rungego–Kutty (metody RK) 99
5.4. Algorytmy rozwiązywania IVP niejawnymi metodami Rungego–Kutty 106
5.5. Algorytmy adaptacyjne 113
5.6. Podsumowanie 1176. Solwery ODE w środowisku MATLAB-a 119
Maciej Szymkat
6.1. Przykład: model wahadła podwójnego 119
6.2. Analiza błędów metod o stałym rzędzie 122
6.3. Porównanie solwerów o zmiennym kroku i rzędzie 130
6.4. Podsumowanie 1397. Równania różniczkowe zwyczajne: zagadnienie brzegowe 142
Janusz Miller
7.1. Wprowadzenie 142
7.2. Metody strzałów 144
7.3. Metody jednoczesne 146
7.4. Rozwiązywanie przykładowych zadań BVP 150
7.5. Podsumowanie 1728. Algorytm QR obliczania wartości własnych 175
Maciej Szymkat
8.1. Wprowadzenie 175
8.2. Wektory i wartości własne 177
8.3. Konstrukcja rozkładu QR 181
8.4. Algorytm QR obliczania wartości własnych 189
8.5. Obliczenia symboliczne i arytmetyka zmiennej precyzji 199
8.6. Podsumowanie 206